29 abril 2016

Los cazadores de neutrinos


El Nobel de Física de 2015 recayó en dos buscadores de fantasmas. Eso es lo que parecen los neutrinos, unas elusivas partículas que, según hallaron, tienen masa

Miguel Ángel Sabadell

Super-Kamiokande

Casi todo lo que rodea a los neutrinos constituye un misterio, incluso su misma existencia. En 1930, el físico austriaco Wolfgang Pauli la predijo para resolver un problema que traía de cabeza a sus colegas, la desintegración beta, un fenómeno radiactivo en el que un átomo inestable emite o un electrón o su antipartícula, un positrón. Pauli esgrimió una razón de peso para afirmar que los neutrinos tenían que existir: de otro modo, una de las más sacrosantas leyes de la física, la conservación de la energía, no funcionaba para este tipo de desintegración. Esta peculiaridad, por otra parte, era precisamente lo que defendía Niels Bohr­, uno de los padres de la teoría cuántica. Aquella nueva –y aún hipotética– partícula debía encontrarse en el núcleo del átomo, y se emitiría junto con el electrón al producirse la desintegración. Había, sin embargo, otro problema: en el interior del núcleo no hay electrones, así que ¿de dónde venía?

Dos décadas solo para probar que realmente existían

En 1934, otro de los grandes de la física, Enrico Fermi, planteó su propia teoría sobre la desintegración beta: un neutrón del núcleo se desintegraba produciendo un protón, un electrón y un neutrino. El italiano envió un artículo explicando este modelo a la revista Nature, pero fue rechazado. Se adujo que era algo “muy alejado de la realidad”. El poco interés que despertó su propuesta hizo que Fermi abandonara la física teórica. Mientras tanto, ese mismo año, la idea de Bohr de que la energía podía no conservarse en el mundo subatómico perdía la batalla. Y es que si así fuera, no debería existir un límite a la energía de los electrones que salían del núcleo; justo lo que se podía medir experimentalmente. De una u otra forma, el neutrino de Pauli tenía que existir.
Pero una cosa es decirlo y otra muy diferente probarlo. El neutrino se mostró muy esquivo hasta 1956, cuando dos expertos en partículas subatómicas, Clyde Cowan y Fred Reines, dieron con él en la planta de energía atómica de Savannah River, en Carolina del Sur. El hallazgo le valió a Reines el Nobel en 1995; Cowan había fallecido veintiún años antes.
El neutrino ya tenía su certificado de nacimiento, ¿pero cuáles eran sus propiedades? No tenía carga eléctrica, algo evidente, y casi no interaccionaba con la materia. De hecho, resultaba tan elusivo que, para detectarlo, Cowan y Reines utilizaron un reactor nuclear que emitía cincuenta billones de ellos por segundo y por centímetro cuadrado y dos tanques de agua de quinientos litros con cincuenta kilos de cloruro de cadmio disuelto en ellos. La pregunta del millón era si algo así de peculiar podía tener masa. La cuestión no pudo resolverse hasta que entraron en juego Takaaki Kajita, de la Universidad de Tokio, y Arthur B. McDonald, de la de Queen, en Canadá, los ganadores del Nobel de este año. Para poder entender su extraordinario trabajo, primero debemos mirar al sol.
En 1967, un físico-químico llamado Raymond Davis, que se había unido al Laboratorio Nacional de Brookhaven, en EE. UU., para encontrar aplicaciones pacíficas a la energía nuclear, decidió estudiar los neutrinos que se originan en el interior del astro rey. Por entonces, ya estaba bien establecido el modelo solar estándar, que describe el interior de nuestra estrella. Uno de sus artífices fue el astrofísico norteamericano John Bahcall.

Los neutrinos atraviesan la materia como si fuera un espejismo

Debido a las reacciones nucleares de fusión que se producen en el corazón de la estrella, cada vez que cuatro núcleos de hidrógeno se convierten en uno de helio nacen dos neutrinos, que inmediatamente escapan al espacio. En el Sol se originan más de doscientos billones de billones de billones de ellos cada segundo, así que medir la cantidad de neutrinos que llegan a la Tierra procedentes de él parecía una buena forma de poner a prueba los cálculos teóricos de Bahcall. Del mismo modo, determinar cuántos emite en realidad el astro rey permitiría a los astrofísicos mejorar su modelo. El problema de tan preclara propuesta es que los neutrinos son capaces de atravesar un muro de plomo de varios cientos de miles de millones de kilómetros de espesor como si fuera aire. O dicho de otro modo: de los neutrinos provenientes de las reacciones nucleares que se producen en el interior de nuestra estrella solo detectamos uno de cada 5.000 millones... ¡y eso, una vez que ha atravesado la Tierra!
Supernova

Semejante dificultad obligó a Davis a tomar dos decisiones. La primera, utilizar un detector muy grande. Así que llenó un tanque con seiscientas toneladas de percloroetileno, un compuesto que se usa en la limpieza en seco. La segunda decisión fueenterrar el detector bajo toneladas de roca. Con ello, trataba de evitar las perturbaciones que originaban los rayos cósmicos que nos llegan del espacio exterior. Esta radiación de alta energía produce un molesto ruido de fondo en el instrumental que se utiliza para detectar neutrinos. Ocurre algo parecido cuando queremos charlar con un amigo afónico en un bar lleno de gente: el sonido de las otras conversaciones nos impide oír su voz. Davis colocó su detector a 1.500 metros bajo tierra, en la mina de oro abandonada de Homestake, en Dakota del Sur. Era una situación chocante: para observar los neutrinos solares había que sepultarse bajo toneladas de roca.
En estas condiciones, Davis y Bahcall comenzaron su experimento. La sorpresa llegó en 1968, con los primeros resultados: detectaron solo un tercio de los neutrinos que predecía el modelo de este último. Su primera reacción fue pensar que algo habían hecho mal: o los cálculos teóricos no eran tan buenos como se creía o el ensayo tenía alguna falla. Davis comprobó concienzudamente el diseño experimental, y Bahcall repasó una y otra vez las cuentas; todo estaba bien. Así nació lo que se conoce desde entonces como el problema de los neutrinos solares. ¿Qué demonios pasaba en el Sol?
Curiosamente, la solución se conocía mucho antes que el enigma. La había proporcionado en 1957 el físico italiano Bruno Pontecorvo, que se había asentado con su familia en la Unión Soviética. Pontecorvo demostró tener una intuición científica incomparable. Entre otras ideas geniales, mostró a Reines y Cowan el camino al Nobel, al sugerir cómo detectar los neutrinos que se producen en los reactores nucleares. Además, predijo que los neutrinos asociados a los electrones difieren de los que acompañan a otras partículas, como los muones, y propuso que pueden cambiar de traje, por así decirlo, y convertirse en otros tipos de neutrinos, un fenómeno conocido como oscilación.
Pues bien, lo que sucede en el interior del Sol es que las reacciones nucleares producen neutrinos electrónicos, por lo que el equipo de Davis solo detectaba los de ese tipo. Pero ¿y si durante su camino a la mina de Homestake cambiaban y se convertían en alguno de los otros dos? Aquella hipótesis salvaba el modelo solar de Bahcall, que funcionaba muy bien, y resolvía el asunto de la escasez de neutrinos. No obstante, introducía un formidable problema: para que los neutrinos oscilen deben tener masa –de hecho, lo hacen con una frecuencia que es proporcional a su masa– y el modelo estándar de la física de partículas asegura que no la tienen. ¿Era la oscilación del neutrino la solución?
Para saberlo, había que confirmar que realmente se recibían menos de los esperados. A principios de los 80, el físico japonés Masatoshi Koshiba propuso construir un detector en el interior de una antigua mina cerca de la ciudad de Kamioka –hoy Hida–. Lo llamó Kamiokande II. En esencia, era un enorme tanque de agua rodeado de fotorreceptores, unos sensores capaces de captar los débiles destellos de luz que aparecen cuando un neutrino choca con el núcleo de alguno de los átomos de las moléculas de agua. El laboratorio subterráneo pasó desapercibido hasta 1987, cuando, de golpe, se hizo famoso.

El modelo estándar de la física de partículas, en entredicho

En la noche del 23 al 24 de febrero de ese año, uno de los científicos del observatorio astronómico de Las Campanas, en Chile, atisbó un punto brillante en la Gran Nube de Magallanes, una galaxia próxima. Acababa de descubrir la primera supernova visible a simple vista desde 1604. Aquel mismo día, los detectores del Kamiokande se dispararon inesperadamente doce veces. A la vez, otro detector enterrado en una mina de sal cerca de Faiport, en Ohio, contó ocho neutrinos; y un tercero, situado bajo el monte Andyrchi, en el Cáucaso, registró cinco. Después de cientos de miles de años de viaje, el enorme flujo de neutrinos proveniente de esa explosión estelar había barrido la Tierra. Lo sucedido nos da una idea de la dificultad que entraña el estudio de los neutrinos: de los diez billones de trillones que se produjeron en la supernova, se detectaron veinticinco.

Detector SNO

En 1989, Koshiba confirmó los resultados de Davis. Faltaba comprobar que las ideas de Pontecorvo sobre la oscilación del neutrino eran reales. Para ello, Koshiba coordinó la construcción de un detector aún más sensible, equipado con 50.000 toneladas de agua y más de 11.000 sensores. ElSuper-Kamiokande, como fue denominado, empezó a funcionar en 1996. Fue entonces cuando tomó el relevo uno de los colaboradores de Koshiba, el también físico Takaaki Kajita. En 1998, este descubrió que cuando los rayos cósmicos golpean la atmósfera, los neutrinos muónicos que se generan oscilan –cambian de traje– antes de alcanzar el detector. Era la confirmación experimental que todo el mundo esperaba.
Cuatro años después, el físico Arthur McDonald hizo una nueva aportación desde Sudbury, en Canadá. Allí se encuentra el detector SNO (Sudbury Neutrino Observatory), enterrado en una mina a 2.100 metros de profundidad. La principal virtud del SNO, que contiene mil toneladas de agua pesada –agua hecha con deuterio, un isótopo del hidrógeno que tiene en su núcleo un neutrón–, es que es capaz de captar por separado el número total de neutrinos electrónicos y el de todos los tipos de neutrinos. En 2001, el SNO mostró que los neutrinos electrónicos provenientes del Sol se convertían en neutrinos muónicos y tauónicos. De este modo, el problema de los neutrinos solares quedaba explicado, aunque, como suele suceder, con ello se generaban otros que, por el momento, los físicos teóricos son incapaces de explicar: si la oscilación del neutrino implica que este tiene masa, ¿por qué es tan pequeña? Y, sobre todo, ¿qué va a pasar con el famoso modelo estándar, que aseguraba que no debía tenerla?

27 abril 2016

MATERIALES CONDUCTORES Y MATERIALES AISLANTES

CONDUCTORES Y AISLANTES

Los materiales pueden ser clasificados en conductores aislantes, según conduzcan la electricidadcon facilidad o no lo hagan.
Esta clasificación depende de cuán firmemente estén unidos los electrones a sus estructuras, ya que esto es un indicio de la energía necesaria para otorgarles movilidad dentro del material, es decir para conducir la electricidad.

EJEMPLOS DE CONDUCTORES Y DE AISLANTES 

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Esta diferenciación es útil dentro de ciertos límites. Por ejemplo, el cuarzo fundido es 10 cuatrillones de veces mejor aislante que el cobre, por lo que ambos suelen ser señalados como excelentes aislante y conductor, respectivamente. Los metales y el agua sin destilar son considerados buenos conductores, en cambio los plásticos y el vidrio son buenos aislantes.
El agua ¿conductora o aislante?
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El agua en estado químicamente puro es una sustancia aislante. Sin embargo, en la naturaleza se la encuentra en solución con otras sustancias que presentan en su estructura iones con relativa libertad de movimiento. En tales condiciones, estas soluciones son muy buenas conductoras de la electricidad.
Una estrategia usada para evitar los accidentes causados por la acumulación de electricidad estáticaconsiste en aumentar la conductividad superficial por elevación de la humedad relativa. Muchas veces se instala  con este propósito un sistema de humidificación, integrado al equipo de aire acondicionado. El aire húmedo conduce la electricidad e impide que las superficies se carguen.

MATERIALES SEMICONDUCTORES

materiales-semiconductores
A esta clasificación se agregan en la actualidad los materiales llamados semiconductores, como el silicio y el germanio, los cuales son buenos aislantes cuando están en estado cristalino puro, peroconducen la electricidad cuando se sustituyen solo algunos átomos del cristal con otros, como arsénico o boro, mediante la técnica conocida como dopado del material.
Los semiconductores tienen amplia aplicación tecnológica, por ejemplo en la fabricación de transistores.

MATERIALES SUPERCONDUCTORES

Materiales-superconductores
Algunos materiales que se consideran buenos conductores aumentan su conductividad hasta prácticamente el infinito cuando se los enfría a temperaturas cercanas al cero absoluto (– 273 K): son los llamados superconductores.
En la actualidad, se han encontrado algunos materiales cerámicos superconductores a temperaturas de algo más de 100 K. Existen grandes expectativas respecto del diseño de materiales superconductores a  temperaturas más altas ya que permitirían un ahorro importante de energía.

MATERIALES CONDUCTORES

Materiales-conductores
En los materiales conductores, la carga se distribuye en la superficie, lo que es fácilmente explicable si se tiene en cuenta la repulsión entre las cargas de igual signo y la relativa movilidad con que cuentan en los materiales de buena conductividad.
La concentración de carga depende de la curvatura de la superficie, y se puede comprobar experimentalmente que la máxima concentración se da en los értices o puntas.
El cuerpo humano puede ser considerado como un buen conductor. Cuando la humedad relativa es baja, puede acumular cargas bastante altas, ocasionadas por ejemplo, por la fricción del calzado con suelos aislantes.
También puede observarse la fricción de las prendas de seda, lana o fibras sintéticas, que al ser retiradas provocan muchas veces pequeñas chispas eléctricas visibles y también audibles como un débil chisporroteo.
Estas consideraciones adquieren significativa importancia en cuanto a evitar accidentes para aquellas personas que trabajan con materiales altamente inflamables y también para las que manipulan con equipos electrónicos muy sensibles, ya que éstos podrían sufrir algún desperfecto por la acción de esa pequeña descarga.

MATERIALES DIELÉCTRICOS

Materiales dielectricos
Los materiales dieléctricos contienen una serie de cargas ligadas que no ejercen tanta libertad de movimiento como los materiales conductores. Además, a diferencia de los materiales aislantes puede ser sometido a campos eléctricos externos sin afectar al campo eléctrico interno. Sus materiales se componen de átomos y moléculas cuya distribución interna de cargas desplaza o modifica los campos eléctricos. Esto resuelve el hecho de que todos los materiales dieléctricos pueden ser considerados aislantes, pero no todos los materiales aislantes son dieléctricos. Algunos ejemplos de este material incluye la madera, el papel, la cera, la cerámica, la goma o el vidrio. Asimismo, los gases considerados dieléctricos son el nitrógeno y el hexafluoruro de azufre.

RESISTENCIA ELÉCTRICA EN MATERIALES CONDUCTORES O AISLANTES

Resistencia electrica materiales
La resistencia eléctrica, con el Ohmnio como unidad de medida y representada por la letra griega “omega” o “R” (como expresión), es la oposición que tienen los electrones al moverse a través de un determinado material conductor. Los factores más importantes que determinan la resistencia a la electricidad son el tipo de material por el que pasan, su longitud, la temperatura a la que está sometida y la forma de la sección transversal. Un material aislante, conductor o semiconductorpuede conducir la electricidad mejor o peor dependiendo de su configuración atómica.
Estas características pueden actuar de la siguiente manera:
Al contrario de lo que sucede en un cable de unos pocos centímetros, el material de mayor longitud siempre ofrecerá mayor resistencia al paso a la electricidad. Asimismo, cuando el tipo de material posee una mayor sección transversal, menor será la resistencia al paso de la corriente. Las temperaturas elevadas tampoco ayudan al paso de la corriente, de ahí que sea importante alejar los cables de determinados elementos electrónicos.

MATERIALES CONDUCTORES TÉRMICOS

conductividad
Aunque la mayoría de las veces cuando hacemos referencia a un material conductor nos referimos a su capacidad para dejar pasar o circular libremente la energía eléctrica. Sin embargo, también se puede hablar de materiales conductores del calor.
En este caso se trata de materiales que son capaces de absorber el calor de otros materiales mediante el contacto con ellos. En este sentido, un material conductor del calor transmitirá su calor a otro conductor que esté más frío y sus temperaturas tenderán a igualarse.
La conductividad térmica suele ser alta en los metales y en los cuerpos sólidos en general mientras que suele ser mucho más baja en lo que a los gases se refiere. Además, esta conductividad térmica no existe en el vacío ya que para que se produzca se necesitan algún tipo de sustancia.
Algunos de los materiales que mejor conducen el calor son el aluminio, el plomo, el cinq, el estaño, el bronce, el hierro, el litio, la plata…

MATERIALES AISLANTES TÉRMICOS

metales conductividad
Al contrario de los que pudiera parecer, un aislante térmico no es exactamente todo lo contrario a un conductor térmico. Es cierto que los conductores térmicos ofrecen menos resistencia al paso del calor, pero se podría decir que todas las sustancias son, aunque sea muy poco, conductoras del calor, incluso los aislantes térmicos.
Efectivamente, casi cualquier cuerpo o sustancia a la que se le aplique calor aumentará su temperatura. La diferencia es que algunas resisten mucho más antes de que se produzca este cambio de temperatura. Esto permite a ciertos materiales ser utilizados como aislantes del calor. Son materiales que tienen la suficiente resistencia al calor para el uso que se les quiere dar. Por ello, uno de los mejores aislantes térmicos es el propio vacío, ya que no existe sustancia alguna que se pueda calentar.
Los aislantes térmicos se pueden usar para infinidad de usos, por ejemplo para recubrir las cabinas de los aviones o reforzar áreas cerradas rodeadas de altas temperaturas.
Algunos de los materiales aislantes específicos que son legalmente válidos son el poliestireno expandido , la lana mineral (lana de roca), los Losas de lana de madera , el poliestireno extruido, la espuma de poliuretano o el corcho expandido

http://erenovable.com/materiales-conductores-y-materiales-aislantes/

Cómo funciona un pararrayos





Benjamin Franklin
El pararrayos es un elemento imprescindible en cualquier edificación en altura. Incluso la normativa actual de construcción especifica la necesidad de la instalación del pararrayos en edificios residenciales, industriales o terciarios … pero, ¿Cómo funciona un pararrayos?

Historia del pararrayos


El primer pararrayos conocido se instaló en Filadelfia, hace ya varios siglos.
Como todo el mundo sabe, el pararrayos fue inventado por Benjamin Franklin en el año 1752. Para comprobar que un rayo no era más que una corriente eléctrica, hizo volar una cometa en medio de una tormenta, atando en el otro extremo de la cuerda una llave metálica. De esta forma, la corriente generada por el rayo que cayera en el extremo superior de la cometa, atravesaría la cuerda mojada, llegando a la llave (colocada cerca del suelo) y haría saltar chispas por el puente eléctrico producido.
En realidad, Benjamin Franklin tuvo suerte de no morir, ya que un rayo descarga unos 20.000 amperios a una temperatura de 30.000 ºC. Para que nos hagamos una idea de la intensidad de corriente que hace circular un rayo, los enchufes domésticos están diseñados para una intensidad máxima de 16 amperios.
Muchos materiales considerados como aislantes de la corriente eléctrica, son capaces de conducir la corriente si se les aplica una diferencia de tensión suficiente entre sus extremos. Además, la resistencia que generan los materiales, producen un enorme calor, lo que provoca los daños característicos del rayo; por ejemplo, el contenido de agua se evapora instantáneamente con el paso de la corriente generada por un rayo.
El hecho anterior, explica porque un árbol se parte cuando le cae un rayo:
La intensidad de corriente generada por el rayo y que atraviesa el árbol, unido a la resistencia al paso de la corriente que genera la madera, provoca una temperatura en el árbol tan alta que hace que se evapore instantáneamente el agua que contiene, secándose, variando su tamaño y partiéndose en dos.
Benjamin Franklin, colocó cables en las fachadas de los edificios de Filadelfia, ciudad en la que vivía. Cunado descargaba un rayo, la electricidad, que como el agua tiende a seguir el camino más fácil (tiende a seguir el mejor conductor y el camino más corto), fluía a lo largo de los conductores en lugar de por el edificio.

Cómo funciona un pararrayos

Esquema de un pararrayos
Como es sabido, las nubes, tras ser frotadas continuamente con los vientos que recorren la tierra, se cargan negativamente, acumulando gradualmente cierto potencial eléctrico. La tierra tiene potencial “0”, por lo que cuando el potencial de las nubes es elevado, se produce un arco de descarga que genera una gran corriente partiendo de las nubes y llegando hasta la tierra.
Sabido es que la electricidad sigue el camino más fácil, y el material que es mejor conductor. Así, el funcionamiento del pararrayos es el siguiente:
  1. Se eleva un elemento conductor por encima del edificio (el pararrayos), que es mejor conductor que el aire y que el propio edificio.
  2. La corriente generada por un rayo que caiga cerca de este elemento, o lo que es lo mismo, cerca del edificio al que protege el pararrayos, “optará” por ir a través delpararrayos, ya que conduce mejor la electricidad que el aire o la propia edificación.
  3. Se une el pararrayos a la tierra, mediante picas o conductores, para que disipen la electricidad.

Como hacer un electroscopio casero




 Electroscopio:  de hoja de oro es un instrumento que aprovecha la repulsión de las cargas iguales para detectar las cargas pequeñas: tiene una tira de hoja de oro articulada a una placa metálica, sobre la que descansa. Cuando se ha cargado el electroscopio (tocándolo con una barra cargada), la hoja de oro y la placa adquieren una carga similar, y se repelen. La hoja se separa de la placa, dándonos una indicación visual de que existe una carga.
Un electroscopio se puede cargar también por inducción. Si se le acerca una barrita de politeno cargada, la hoja se separa de la placa, aunque la barra no haya tocado siquiera el electroscopio. El instrumento en su conjunto sigue teniendo el mismo número de cargas positivas y negativas. Pero éstas son atraídas hacia la parte superior del instrumento por el politeno, y las cargas positivas son repelidas hacia abajo, hacia la hoja y hacia la placa, haciéndolas separarse.
El fenómeno de la inducción electrostática es importante en el pararrayos, consistente por lo general en una barra metálica (colocada en lo alto de un elevado edificio) en conexión con latierra, por un grueso cable de metal. Cuando una nube de tormenta, de carga negativa, pasa sobre el edificio, se inducen en el techo de éste cargas positivas. Existe entonces peligro de que se produzca una descarga o rayo entre la nube y el edificio. Pero cuando hay un pararrayosencima de éste, las cargas positivas se concentran en él. Y como tiene la punta afilada, la concentración de cargas, y con ella el campo eléctrico local, son altísimos. Las moléculas del aire situado encima pueden descomponerse en cargas positivas y negativas; formando lo que se llama un «viento iónico». Una corriente de cargas positivas puede subir hasta la nube, neutralizando así sus cargas negativas, pero si se produce una descarga eléctrica pasa a tierrasin hacer daño, a través del cable.

Carga por inducción electrostática


Se puede cargar un cuerpo por un procedimiento sencillo que comienza con el acercamiento a él de una varilla de material aislante, cargada. Considérese una esfera conductora no cargada, suspendida de un hilo aislante. Al acercarle la varilla cargada negativamente, los electrones de conducción que se encuentran en la superficie de la esfera emigran hacia el lado lejano de ésta; como resultado, el lado lejano de la esfera se carga negativamente y el cercano queda con carga positiva. La esfera oscila acercándose a la varilla, porque la fuerza de atracción entre el lado cercano de aquélla y la propia varilla es mayor que la de repulsión entre el lado lejano y la varilla. Vemos que tiene una fuerza eléctrica neta, aun cuando la carga neta en las esfera como un todo sea cero. La carga por inducción no se restringe a los conductores, sino que puede presentarse en todos los materiales.

26 abril 2016

Campo eléctrico de una esfera maciza uniformemente cargada


Campo eléctrico de una esfera maciza uniformemente cargada

Contenido



1 Enunciado

Una esfera de radio R almacena una carga Q distribuida uniformemente en su volumen.
  1. Calcule el campo eléctrico producido por la esfera en todos los puntos del espacio.
  2. Halle la fuerza que experimenta un dipolo \mathbf{p} situado en el interior de esta nube de carga.

2 Campo eléctrico

El campo eléctrico se determina de forma simple mediante la aplicación de la ley de Gauss.
Dada la simetría del sistema, podemos suponer que el potencial eléctrico debido a esta esfera depende exclusivamente de la distancia al centro de ella. Esto implica que el campo eléctrico debido a la esfera es central
\phi=\phi(r)\,   \Rightarrow   \mathbf{E}=-\frac{\partial\phi}{\partial r}\mathbf{u}_r-\frac{1}{r}\overbrace{\frac{\partial\phi}{\partial\theta}}^{=0}\mathbf{u}_\theta-\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\overbrace{\frac{\partial\phi}{\partial\varphi}}^{=0}\mathbf{u}_\varphi=E(r)\mathbf{u}_r
Si calculamos el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio r concéntrica con la esfera de carga obtenemos
\Phi_\mathrm{e}\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\oint \left(E(r)\mathbf{u}_r\right)\cdot\left(\mathrm{d}S\,\mathbf{u}_r\right)=\oint E(r)\,\mathrm{d}S
Al tratarse de dos vectores paralelos, el integrando se reduce al producto de las dos componentes radiales. Por otro lado, por ser la superficie de integración una esfera (r = cte) y ser el campo central la componente radial del campo es la misma sobre todos los puntos de la superficie y puede extraerse de la integral
\Phi_e = \oint E(r)\,\mathrm{d}S=  E(r)\oint \mathrm{d}S =4\pi r^2 E
Nótese que lo que es constante es la componente radial del campo y no el propio campo, cuya dirección varía de un punto a otro de la superficie esférica.
Este resultado es general para cualquier sistema con simetría esférica, sea una carga puntual, una superficie cargada o una distribución radial no uniforme.
De acuerdo con la ley de Gauss, este flujo es igual a la carga encerrada, dividida por la permitividad del vacío
\oint \mathrm{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{\varepsilon_0}
Dependiendo de si el radio de la superficie de integración es mayor o menor que el de la esfera de carga, tenemos dos casos:

En el exterior de la nube de carga (r > R)
En este caso, la superficie de integración contiene a toda la carga del sistema
Q_\mathrm{int}=Q\,   \Rightarrow   4\pi r^2 E = \frac{Q}{\varepsilon_0}    \Rightarrow   \mathbf{E}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\mathbf{u}_r\quad(r>R)
El campo en el exterior de la esfera es igual al de una carga puntual que concentrara toda la carga del sistema y estuviera situada en el centro de ésta.
Imagen:esferacargadavolumen01.gif        Imagen:esferacargadavolumen02.gif
En el interior de la nube (r < R)
En este caso la superficie de integración no contiene a toda la carga del sistema, sino solo a la porción que quepa dentro de ella. Puesto que la densidad de carga es uniforme, esta carga encerrada es igual a la densidad de carga multiplicada por el volumen de esta esfera:
Q_\mathrm{int}(r) = \frac{4\pi}{3}r^3\rho_0
A su vez, la densidad de carga es igual a la carga total dividida por el volumen total
\rho_0 = \frac{Q}{4\pi R^3/3}   \Rightarrow   Q_\mathrm{int}(r)=\frac{Qr^3}{R^3}
lo que nos da el campo eléctrico
4\pi r^2 E = \frac{Qr^3}{\varepsilon_0R^3}   \Rightarrow   \mathbf{E}=\frac{Qr\mathbf{u}_r}{4\pi\varepsilon_0R^3}
Atendiendo a la dependencia radial, vemos que el campo en el interior aumenta radialmente desde cero en el centro de la esfera hasta un valor máximo en su superficie.
Reuniendo los dos resultados obtenemos, que para una nube esférica de carga con una carga Q distribuida uniformemente el campo es (usando que r\mathbf{u}_r=\mathbf{r})
\mathbf{E}=\begin{cases}\displaystyle\frac{Q\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 R^3} & r < R \\ & \\ \displaystyle\frac{Q\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^3} & r > R\end{cases} = \begin{cases}\displaystyle\frac{\rho_0\mathbf{r}}{3\varepsilon_0} & r < R \\ & \\ \displaystyle\frac{\rho_0R^3\mathbf{r}}{3\varepsilon_0 r^3} & r > R\end{cases}
Este campo es continuo en r = R ya que sobre la esfera no hay una densidad superficial de carga.

3 Fuerza sobre un dipolo

la fuerza sobre un dipolo en el seno de un campo eléctrico tiene la expresión
\mathbf{F}=(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}
En el caso de que el dipolo se encuentre en el interior de la nube de carga, aplicamos esta fórmula a la expresión del campo interior
\mathbf{F}=(\mathbf{p}\cdot\nabla)\left(\frac{Q\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0R^3}\right) = \frac{Q(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 R^3}
Tal como se demuestra en un problema de [Algunas_identidades_vectoriales#Primera_identidad_.28.29|fundamentos matemáticos], para cualquier vector \mathbf{p}y el vector de posición \mathbf{r} se cumple
(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{r}=\mathbf{p}
por lo que la fuerza sobre el dipolo es
\mathbf{F}=\frac{Q\mathbf{p}}{4\pi\varepsilon_0 R^3}
Vemos que resulta una fuerza independiente de la posición del dipolo (siempre que se encuentre en el interior de la nube) y proporcional al momento dipolar. Si la carga de la nube es positiva, la fuerza es el mismo sentido que el momento dipolar; si es negativa, en sentido opuesto.
El caso particular en el que el dipolo apunta radialmente es fácil de entender. Supongamos que Q > 0 y que el dipolo apunta radialmente hacia afuera. Entonces la carga positiva del dipolo se encuentra a una mayor distancia del centro de la nube que la carga negativa del dipolo. Puesto que el campo aumenta linealmente con la distancia al centro, esto quiere decir que la fuerza de repulsión sobre la carga positiva es más intensa que la de atracción sobre la negativa. La resultante de las fuerzas sobre el dipolo es entonces de repulsión y apuntará hacia afuera, como el momento dipolar.
Análogamente, pero con los signos invertidos, si el dipolo apunta hacia adentro, o la carga de la nube es negativa.
Más difícil de ver es el caso en el que el dipolo apunta perpendicularmente a la dirección radial. En este caso las dos cargas que forman el dipolo se encuentran a la misma distancia del centro de la nube, por lo que el módulo de la fuerza que actúa sobre ellas es el mismo para las dos. Sin embargo, se encuentran sobre direcciones radiales diferentes, por lo que la dirección de la fuerza sobre cada una es diferente. Cuando se tiene esto en cuenta y se halla la resultante, resulta una fuerza también perpendicular a la dirección radial, como el momento dipolar.