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26 abril 2016

Campo eléctrico de una esfera maciza uniformemente cargada

1:28:00 a.m.    No comments


Campo eléctrico de una esfera maciza uniformemente cargada

Contenido



1 Enunciado

Una esfera de radio R almacena una carga Q distribuida uniformemente en su volumen.
  1. Calcule el campo eléctrico producido por la esfera en todos los puntos del espacio.
  2. Halle la fuerza que experimenta un dipolo \mathbf{p} situado en el interior de esta nube de carga.

2 Campo eléctrico

El campo eléctrico se determina de forma simple mediante la aplicación de la ley de Gauss.
Dada la simetría del sistema, podemos suponer que el potencial eléctrico debido a esta esfera depende exclusivamente de la distancia al centro de ella. Esto implica que el campo eléctrico debido a la esfera es central
\phi=\phi(r)\,   \Rightarrow   \mathbf{E}=-\frac{\partial\phi}{\partial r}\mathbf{u}_r-\frac{1}{r}\overbrace{\frac{\partial\phi}{\partial\theta}}^{=0}\mathbf{u}_\theta-\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\overbrace{\frac{\partial\phi}{\partial\varphi}}^{=0}\mathbf{u}_\varphi=E(r)\mathbf{u}_r
Si calculamos el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio r concéntrica con la esfera de carga obtenemos
\Phi_\mathrm{e}\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\oint \left(E(r)\mathbf{u}_r\right)\cdot\left(\mathrm{d}S\,\mathbf{u}_r\right)=\oint E(r)\,\mathrm{d}S
Al tratarse de dos vectores paralelos, el integrando se reduce al producto de las dos componentes radiales. Por otro lado, por ser la superficie de integración una esfera (r = cte) y ser el campo central la componente radial del campo es la misma sobre todos los puntos de la superficie y puede extraerse de la integral
\Phi_e = \oint E(r)\,\mathrm{d}S= E(r)\oint \mathrm{d}S =4\pi r^2 E
Nótese que lo que es constante es la componente radial del campo y no el propio campo, cuya dirección varía de un punto a otro de la superficie esférica.
Este resultado es general para cualquier sistema con simetría esférica, sea una carga puntual, una superficie cargada o una distribución radial no uniforme.
De acuerdo con la ley de Gauss, este flujo es igual a la carga encerrada, dividida por la permitividad del vacío
\oint \mathrm{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{\varepsilon_0}
Dependiendo de si el radio de la superficie de integración es mayor o menor que el de la esfera de carga, tenemos dos casos:

En el exterior de la nube de carga (r > R)
En este caso, la superficie de integración contiene a toda la carga del sistema
Q_\mathrm{int}=Q\,   \Rightarrow   4\pi r^2 E = \frac{Q}{\varepsilon_0}    \Rightarrow   \mathbf{E}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\mathbf{u}_r\quad(r>R)
El campo en el exterior de la esfera es igual al de una carga puntual que concentrara toda la carga del sistema y estuviera situada en el centro de ésta.
Imagen:esferacargadavolumen01.gif        Imagen:esferacargadavolumen02.gif
En el interior de la nube (r < R)
En este caso la superficie de integración no contiene a toda la carga del sistema, sino solo a la porción que quepa dentro de ella. Puesto que la densidad de carga es uniforme, esta carga encerrada es igual a la densidad de carga multiplicada por el volumen de esta esfera:
Q_\mathrm{int}(r) = \frac{4\pi}{3}r^3\rho_0
A su vez, la densidad de carga es igual a la carga total dividida por el volumen total
\rho_0 = \frac{Q}{4\pi R^3/3}   \Rightarrow   Q_\mathrm{int}(r)=\frac{Qr^3}{R^3}
lo que nos da el campo eléctrico
4\pi r^2 E = \frac{Qr^3}{\varepsilon_0R^3}   \Rightarrow   \mathbf{E}=\frac{Qr\mathbf{u}_r}{4\pi\varepsilon_0R^3}
Atendiendo a la dependencia radial, vemos que el campo en el interior aumenta radialmente desde cero en el centro de la esfera hasta un valor máximo en su superficie.
Reuniendo los dos resultados obtenemos, que para una nube esférica de carga con una carga Q distribuida uniformemente el campo es (usando que r\mathbf{u}_r=\mathbf{r})
\mathbf{E}=\begin{cases}\displaystyle\frac{Q\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 R^3} & r < R \\ & \\ \displaystyle\frac{Q\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^3} & r > R\end{cases} = \begin{cases}\displaystyle\frac{\rho_0\mathbf{r}}{3\varepsilon_0} & r < R \\ & \\ \displaystyle\frac{\rho_0R^3\mathbf{r}}{3\varepsilon_0 r^3} & r > R\end{cases}
Este campo es continuo en r = R ya que sobre la esfera no hay una densidad superficial de carga.

3 Fuerza sobre un dipolo

la fuerza sobre un dipolo en el seno de un campo eléctrico tiene la expresión
\mathbf{F}=(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}
En el caso de que el dipolo se encuentre en el interior de la nube de carga, aplicamos esta fórmula a la expresión del campo interior
\mathbf{F}=(\mathbf{p}\cdot\nabla)\left(\frac{Q\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0R^3}\right) = \frac{Q(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 R^3}
Tal como se demuestra en un problema de [Algunas_identidades_vectoriales#Primera_identidad_.28.29|fundamentos matemáticos], para cualquier vector \mathbf{p}y el vector de posición \mathbf{r} se cumple
(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{r}=\mathbf{p}
por lo que la fuerza sobre el dipolo es
\mathbf{F}=\frac{Q\mathbf{p}}{4\pi\varepsilon_0 R^3}
Vemos que resulta una fuerza independiente de la posición del dipolo (siempre que se encuentre en el interior de la nube) y proporcional al momento dipolar. Si la carga de la nube es positiva, la fuerza es el mismo sentido que el momento dipolar; si es negativa, en sentido opuesto.
El caso particular en el que el dipolo apunta radialmente es fácil de entender. Supongamos que Q > 0 y que el dipolo apunta radialmente hacia afuera. Entonces la carga positiva del dipolo se encuentra a una mayor distancia del centro de la nube que la carga negativa del dipolo. Puesto que el campo aumenta linealmente con la distancia al centro, esto quiere decir que la fuerza de repulsión sobre la carga positiva es más intensa que la de atracción sobre la negativa. La resultante de las fuerzas sobre el dipolo es entonces de repulsión y apuntará hacia afuera, como el momento dipolar.
Análogamente, pero con los signos invertidos, si el dipolo apunta hacia adentro, o la carga de la nube es negativa.
Más difícil de ver es el caso en el que el dipolo apunta perpendicularmente a la dirección radial. En este caso las dos cargas que forman el dipolo se encuentran a la misma distancia del centro de la nube, por lo que el módulo de la fuerza que actúa sobre ellas es el mismo para las dos. Sin embargo, se encuentran sobre direcciones radiales diferentes, por lo que la dirección de la fuerza sobre cada una es diferente. Cuando se tiene esto en cuenta y se halla la resultante, resulta una fuerza también perpendicular a la dirección radial, como el momento dipolar.

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Jaula de Faraday

1:21:00 a.m.    No comments


Jaula de Faraday

Una jaula de Faraday es una caja metálica que protege de los campos eléctricos estáticos. Debe su nombre al físico Michael Faraday, que construyó una en 1836. Se emplean para proteger de descargas eléctricas, ya que en su interior el campo eléctrico es nulo.
El funcionamiento de la jaula de Farday se basa en las propiedades de un conductor en equilibrio electrostático. Cuando la caja metálica se coloca en presencia de un campo eléctrico externo, las cargas positivas se quedan en las posiciones de la red; los electrones, sin embargo, que en un metal son libres, empiezan a moverse puesto que sobre ellos actúa una fuerza dada por:
Donde e es la carga del electrón. Como la carga del electrón es negativa, los electrones se mueven en sentido contrario al campo eléctrico y, aunque la carga total del conductor es cero, uno de los lados de la caja (en el que se acumulan los electrones) se queda con un exceso de carga negativa, mientras que el otro lado queda con un defecto de electrones (carga positiva). Este desplazamiento de las cargas hace que en el interior de la caja se cree un campo eléctrico (representado en rojo en la siguiente animación) de sentido contrario al campo externo, representado en azul.
El campo eléctrico resultante en el interior del conductor es por tanto nulo
.
Como en el interior de la caja no hay campo, ninguna carga puede atravesarla; por ello se emplea para proteger dispositivos de cargas eléctricas. El fenómeno se denomina apantallamiento eléctrico.
Muchos dispositivos que empleamos en nuestra vida cotidiana están provistos de una jaula de Faraday: los microondas, escáneres, cables, etc. Otros dispositivos, sin estar provistos de una jaula de Faraday actúan como tal: los ascensores, los coches, los aviones, etc. Por esta razón se recomienda permanecer en el interior del coche durante una tormenta eléctrica: su carrocería metálica actúa como una jaula de Faraday.

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Esfera conductora hueca con carga puntual

12:46:00 a.m.    No comments

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Esfera_conductora_hueca_con_carga_puntual_GIA

Contenido


1 Enunciado

Una esfera conductora hueca de radios interior R1 y exterior R2 tiene en su centro una pequeña partícula cargada con carga q. Suponiendo que la esfera no tiene carga neta y que está aislada calcule el potencial al que se encuentra y la carga que hay en sus superficies interior y exterior.

2 Solución

En la figura se muestra una sección transversal del sistema bajo estudio. Se trata de una esfera conductora de radio R2, descargada y aislada, en cuyo interior hay un hueco esférico y concéntrico de radio R1, que se encuentra vacío salvo en su centro O, donde hay situada una carga puntual de valor q. Ésta carga produce una campo eléctrico radial con centro en la carga (es decir, en el punto O),
\mathbf{E}_q(\mathbf{r})=k_e\!\ q \ \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\ =\frac{k_e\!\ q}{r^2}\ \mathbf{u}_r\,\mathrm{,}\;\;\;\mathrm{con}\;\;\overrightarrow{OP}=\mathbf{r}=r\!\ \mathbf{u}_r
Archivo:q_en_cond_1.gif
definido en todos los puntos del espacio. Si la carga puntual, que supondremos positiva, se encuentra en el hueco de la esfera conductora, este campo eléctrico arrastrará las cargas libres negativas del conductor hacia la superficie interior \Sigma_\mathrm{int}:\ r=R_1, a la vez que desplazaría las posibles cargas libres positivas hacia la exterior, \Sigma_\mathrm{ext}:\ r=R_2, induciéndose en dichas superficies sendas densidades superficiales de carga de signo opuesto. Y como el conductor está descargado y aislado su carga eléctrica total QC debe ser siempre nula. Por tanto, las cantidades de carga inducidas en las superficies Σint y Σext debe ser opuestas:
Q_\mathrm{C}=\int_{\Sigma_\mathrm{int}}\!\ \!\ \sigma_e\mathrm{d}S+\int_{\Sigma_\mathrm{ext}}\!\ \!\ \sigma_e\mathrm{d}S=Q_\mathrm{int}+Q_\mathrm{ext}=0
Pero, aunque la cantidad total de carga inducida es nula, al estar separada espacialmente en sendas distribuciones de signo opuesto, éstas crearán un campo eléctrico (que llamaremos “inducido”) \mathbf{E}_\mathrm{ind}. El sistema alcanza el equilibrio cuando este campo anula al campo de la carga puntual en el interior de la región conductoraτC comprendida entre las superficies esféricas Σint y Σext. Es decir,
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_q(\mathbf{r})+\mathbf{E}_\mathrm{ind}(\mathbf{r})=\mathbf{0}\,\,\mathrm{;}\,\;\;\forall\, P\in \tau_\mathrm{C}\;\;(R_1<|\mathbf{r}|<R_2)

Archivo:q_en_cond_2.gif

2.1 Carga eléctrica en las superficies del conductor

Para determinar la carga eléctrica en la superficie interior de la corteza conductora aplicamos la ley de Gauss utilizando una superficie gaussiana cerrada \partial\tau_\mathrm{a} tal que todos sus puntos estén dentro de la región conductora τC. Por ejemplo, podemos tomar como \partial \tau_\mathrm{a} una superficie esférica con centro en O y radio r, tal que R1 < r < R2. En cada punto de esta superficie el campo eléctrico total es nulo por ser punto del interior del conductor en equilibrio. Por tanto, el flujo de dicho campo y, en consecuencia, la cantidad total de carga eléctrica encerrada por \partial\tau_\mathrm{a}, es...
\Phi_e\big\rfloor_{\partial\tau_\mathrm{a}}=\oint_{\partial\tau_\mathrm{a}}\!\ \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=0\quad\Longrightarrow\quad\Phi_e\big\rfloor_{\partial\tau_\mathrm{a}}=\frac{Q_{\partial\tau_\mathrm{a}}}{\varepsilon_0}=0
La carga eléctrica en el interior de \partial\tau_1 es la carga puntual q, más la carga distribuida en la superficie interior Σint de la corteza conductora. Obsérvese que no hay carga eléctrica neta en el volumen de dicha corteza comprendido entre las superficies Σint y \partial\tau_\mathrm{a}, ya que se trata de una región conductora en equilibrio. De esta forma,
Q_{\partial\tau_\mathrm{a}}=q+Q_\mathrm{int}=0\quad\Longrightarrow\quad Q_\mathrm{int}=-q
Y aplicando ahora que el conductor está descargado y aislado y que, por tanto, las cantidades de carga en sus superficies deben ser opuestas...
Q_\mathrm{C}=Q_\mathrm{ext}+Q_\mathrm{int}=0\quad\Longrightarrow\quad Q_\mathrm{ext}=-Q_\mathrm{int}=q

2.2 Campo eléctrico y potencial electrostático


2.2.1 En el exterior del sistema y en el conductor

Una vez calculada la cantidad de carga que hay en la superficie externa del conductor, pasamos a discutir cómo se distribuye. En primer lugar, hay que tener en cuenta que en el interior de la región conductora no hay campo eléctrico. Esto tiene como consecuencia que la densidad de carga eléctrica en la superficie Σext sólo está relacionada con el campo eléctrico en el exterior:
\mathbf{n}\cdot\bigg[\mathbf{E}(r=R_2^+)-\underbrace{\mathbf{E}(r=R_2^-)}_{=\mathbf{0}}\bigg]_{\Sigma_\mathrm{ext}}=\mathbf{n}\cdot\mathbf{E}(r=R_2^+)=\frac{\sigma_e}{\varepsilon_0}\bigg\rfloor_{\Sigma_\mathrm{ext}}
(consecuencia de la discontinuidad del campo en la superficie cargada). Es decir, la región conductora actúa como una pantalla de manera que la carga puntual q y la densidad superficial de carga en la superficie interior no afectan en absoluto a la forma de distribuirse la carga en Σext. Y como no hay otras cargas en el exterior de dicha superficie esférica y si, además, asumimos que es homogénea, la carga eléctrica Qext = q se distribuirá uniformemente, con una densidad superficial,
\sigma_e(\mathbf{r})\big\rfloor_{\Sigma_\mathrm{ext}}=\frac{q}{4\pi\!\ R_2^2}=\sigma_2
Obsérvese que de la discusión anterior acerca del “efecto pantalla” del conductor se deduce que el campo eléctrico resultante en el exterior de la esfera conductora depende exclusivamente de aquella distribución uniforme y esférica. Y, como sabemos, una distribución de carga de este tipo produce un campo eléctrico radial idéntico al que crearía una carga puntual q en el centro de la distribución (consecuencia de la aplicación de la ley de Gauss):
\forall\, P\;\;\mathrm{tal}\;\;\mathrm{que}\quad|\mathbf{r}|=r>R_2\,\mathrm{,}\,\quad\mathbf{E}(\mathbf{r})=k_e\!\ q\ \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}=\frac{k_e\!\ q}{r^2}\ \mathbf{u}_r
El potencial electrostático en cualquier punto P exterior a la corteza conductora puede calcularse como la circulación de dicho campo eléctrico, desde dicho punto hasta el infinito, o bien en términos de una integral indefinida del campo eléctrico más una constante de integración a determinar por las condiciones de contorno:
V(P)-V(\infty)=\int_P^\infty\! \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}\quad\longrightarrow\quad V(\mathbf{r})=C_\mathrm{ext}\ -\! \int\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=C_\mathrm{ext}\ -\ k_e\!\ q \int\frac{\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}
Si expresamos el vector posición \mathbf{r} en términos del vector \mathbf{u}_r, y tomamos diferenciales, se tendrá que,
\mathbf{r}=r\!\ \mathbf{u}_r\quad\Longrightarrow\quad\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}r\!\ \mathbf{u}_r+r\!\ \mathbf{d}\mathbf{u}_r\,\mathrm{,}\, \quad\mathrm{con}\quad\mathbf{u}_r\!\ \perp\!\ \mathrm{d}\mathbf{u}_r
por ser \mathbf{u}_r un vector unitario. Esta condición de ortogonalidad facilita el cálculo de la expresión del potencial electrostático:
\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=r\mathrm{d}r\quad\Longrightarrow\quad V(\mathbf{r})=C_\mathrm{ext}\ -\ k_e\!\ q \int\frac{\mathrm{d}r}{r^2}=\frac{k_e\!\ q}{r}=V(r)\,\mathrm{,}\,\;\;\forall\, P\;\;\mathrm{tal}\;\;\mathrm{que}\quad |\mathbf{r}|=r\geq R_2
donde, para el valor de la constante de integración, Cext = 0, se ha obtenido considerado que el potencial se anula en el infinito. Como puede comprobarse, la expresión obtenida es idéntica al de potencial creado por una carga puntual q colocada en el punto O. A partir de esta expresión y por continuidad del potencial, podemos determinar cuánto vale el potencial V0 en la superficie exterior de la corteza conductora y en cualquier punto de dicho conductor, ya que al ser el campo eléctrico nulo, el potencial será constante:
\forall\, P\;\;\mathrm{tal}\;\;\mathrm{que}\;\;R_1\leq |\mathbf{r}|\leq R_2\,\mathrm{,}\quad V(\mathbf{r})=V_0=V(r=R_2^+)=\frac{k_e\!\ q}{R_2}

2.2.2 En el hueco

En el enunciado no se solicita determinar el potencial en la región hueca del interior del conductor, donde se sitúa la carga puntual. Sin embargo, no es difícil determinar cómo es dicho campo escalar. Como dijimos al principio, la carga puntual crea un campo radial, pero al colocarla en el interior del hueco induce una densidad superficial de carga en la superficie interior del conductor. Ésta crea un campo inducido que, junto con el de la carga, contribuye al campo eléctrico total que hay en el hueco. Si la carga no está colocada en el centro del hueco (en el punto O), la densidad de carga negativa inducida será mayor cuanto más próxima se halle la carga puntual q y, como consecuencia, el campo eléctrico no sería radial y no podríamos hacer ninguna consideración a priori sobre su simetría. Sin embargo, como dicha carga está situada en el centro O, su distancia a todos los puntos de la superficie Σint es la misma (R1). Por tanto, la intensidad el campo eléctrico creado por la carga es la misma y en todos ellos induciría la misma densidad superficial de carga. En consecuencia, la carga Qint = − q se distribuye uniformemente en la superficie Σint,
\sigma_e(\mathbf{r})\big\rfloor_{\Sigma_\mathrm{int}}=-\frac{q}{4\pi\!\ R_1^2}=-\sigma_1
pudiendo asegurar también que el campo eléctrico total en el hueco va a ser radial.
Apliquemos entonces la ley de Gauss tomando una superficie gaussiana \partial\tau_b consistente en una superficie esférica de radio r < R1y centrada en O. Como la única carga encerrada en dicha superficie es la carga puntual, se tendrá:
\Phi_e\big\rfloor_{\partial\tau_b}=\oint_{\partial\tau_b}\!\ \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=4\pi r^2 \!\ E(r)=\frac{q}{\varepsilon_0}\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{E}(\mathbf{r})=k_e\!\ q\ \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\,\mathrm{,}\,\quad\forall\, P \;\;\mathrm{tal}\;\;\mathrm{que}\quad |\mathbf{r}|<R_1
Es decir, nuevamente obtenemos que el campo en el interior del hueco es el creado por la carga puntual qsituada en el centro O. Por tanto, el potencial en dicha región deberá ser de la forma,
V(\mathbf{r})=\frac{k_e\!\ q}{r}\ + \ C_\mathrm{int}\,\mathrm{,}\,\quad\forall\, P \;\;\mathrm{tal}\;\;\mathrm{que}\quad |\mathbf{r}|\leq R_1
Obsérvese que para determinar el valor de la constante de integración Cint no podemos utilizar el valor del potencial en el infinito, ya que nuestra función V(r) ahora sólo está definida para valores de r inferiores a R1. Y puesto que conocemos el valor del potencial en toda la corteza conductora (incluidas sus superficies) y aquel debe ser una función continua, fijamos el valor de la constante exigiendo,
V(r=R_1^-)=\frac{k_e\!\ q}{R_1}\ + \ C_\mathrm{int}=\frac{k_e\!\ q}{R_2}=V(r=R_1^+)\quad\Longrightarrow\quad C_\mathrm{int}=k_e\!\ q\ \left(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}\right)

2.2.3 Expresiones en todo el espacio

En resumen, el campo eléctrico y el potencial electrostático creado por la carga puntual q encerrada y centrada en el conductor hueco, son de la siguiente forma:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle k_e\!\ q\ \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\,\mathrm{,}\, & R_1>|\mathbf{r}|>R_2\\ \\ \mathbf{0}\,\mathrm{,} & R_1<|\mathbf{r}|<R_2\end{cases}\quad\longleftrightarrow\quad V(\mathbf{r})=V(r)=\begin{cases}\displaystyle \frac{k_e\!\ q}{r}\,\mathrm{;}\, & r\geq R_2\\ \\ \displaystyle V_0=\frac{k_e\!\ q}{R_2}\,\mathrm{;}\, & R_1\leq r\leq R_2\\ \\ \displaystyle k_e\!\ q\ \left(\frac{1}{r}+\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}\right)\,\mathrm{;}\, & r\leq R_1\end{cases}
Archivo:q_en_cond_5.gif

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